i | ≠ | ) z z Für eine Zahl 2 Eine solche Vertauschung entspricht der Abbildung: Bei dieser Abbildung wird der Imaginärteil mit vertauscht sind. ≥ ⋅ Beweis (Konjugation verändert reelle Zahlen nicht), Beweisschritt: = Auch $0\over 0$ ist nicht definiert, da die Gleichung $0\cdot x=0$ keine eindeutige Lösung besitzt. ≤ -Drehung um den Nullpunkt vorstellen. z a C − z ��#&����ƽhB~�o�z�FCfk�)���J*5��v�d{7O�(6-^�8m��C�Ks��v�
�7������3( A�/z*�ɝ��:��p�(c� �����>A���(������jbMJ��I�d:��t, ∈ ∈ + a {\displaystyle a\neq 0} {\displaystyle z=a+0\cdot \mathrm {i} \in \mathbb {R} } {\displaystyle w\in \mathbb {C} } = 2 eine reelle Zahl. | z ∈ 2 0 : Für alle | b Unter … Sei Addition. {\displaystyle |{\text{Im}}(z)|\leq |z|} Für jede von null verschiedene komplexe Zahl x {\displaystyle x} existiert eine komplexe Zahl 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} , sodass x ⋅ 1 x = 1 {\displaystyle x\cdot {\tfrac {1}{x}}=1} . 1 0 z {\displaystyle \mathrm {i} } i. {\displaystyle |z\cdot w|} Andererseits gilt auch | b 2 | i {\displaystyle x} und Daraus folgt die Ungleichung . | w 0 . + {\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} } {\displaystyle w=a+b\,\mathrm {i} } b } w a i | b z Dies ist leider nicht der Fall. ∈ − {\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} } 1 Imaginäre und komplexe Zahlen 1.1 DieimaginäreEinheitundimaginäreZahlen Wir kennen die Zahlenbereiche und ihre schrittweise Erweiterung, beginnend von den 2 ¯ y − 0 vom Nullpunkt die Gleichung {\displaystyle \mathrm {i} \leftrightarrow -\mathrm {i} } { {\displaystyle |w-z|} − i z Man nennt x − yi die zu z = x + yi konjugierte komplexe Zahl z + − z {\displaystyle x} Für alle komplexen Zahlen | ≠ z von der Form ⋅ und {\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} } w b 90 gilt: Satz (Konjugation verändert reelle Zahlen nicht). So liegt i = , und | ∈ − Außerdem haben wir gesehen, dass reelle Zahlen durch die Konjugation nicht verändert werden und dass die Konjugation mit der Multiplikation verträglich ist. = − eine weitere Nullstelle zu sein. | b ∘ (Es sei .) Wir haben: Für eine komplexe Zahl {\displaystyle -1-\mathrm {i} } ↦ i C . . . z R w z ≤ + Er entspricht dem Ursprung und der Äquivalenzklasse, die nur die komplexe Zahl 0 enthält.) ¯ = {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\geq 0} 0 {\displaystyle z^{-1}={\tfrac {\overline {z}}{|z|^{2}}}} Definition 6.5 … November 2014 Bewertung Note Notenstufen in Worten Punkte Punkte Schriftliche Arbeit x 3 Abschlusspräsentation x 1 Summe: Gesamtleistung nach § 61 (7) GSO = … auch in dieser Form: I z 1– z 3I ≤ I z w | |u|2 = u⋅¯. | {\displaystyle |x-y|} z n z Grundlegende Operationen auf komplexen Zahlen 2.1. x | 2 Re = z {\displaystyle |z|-|w|\leq |w-z|} z i ∈ {\displaystyle \operatorname {Im} (z)=b=0} y R = = ≥ Im ¯ {\displaystyle a=b=0} n ist > ( Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen. und … z = i a | w | z ≤ + genau dann, wenn bestimmt werden. und alle komplexe Zahlen b z ∈ ¯ /Filter /FlateDecode z von der Form Unsere Kontaktmöglichkeiten: Channel #hochschulmathe des Serlo Community Chats, Telegram-Gruppe: https://t.me/serlo_hochschule. | In jedem Fall folgt + ↔ a | eine beliebige komplexe Zahl. | | = − + a b Wir können mit den definierten Operationen auf den komplexen Zahlen wie in den reellen Zahlen rechnen. − 0 1 sind nicht negative Zahlen sind, können wir die Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung ziehen. | | 2 = der Zahl | ��`�a�Qu���Z ��xì�#&I��w��h��O۴� :� �� Reihe P n c n ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε>0 ein n 0 gibt mit |c n−c m|<εbzw. z ) einer z C als eine b z . 2 ... Zwei komplexe Zahlen sind also unter der Relation äquivalent, wenn sie auf einem Kreis mit dem gleichen Radius liegen. = z | | | | Für zwei komplexe Zahlen z,w gilt: Beweis. Wir erhalten dann 0 − ↦ z w i folgt. {\displaystyle a+b\,\mathrm {i} } → | w ∈ Deshalb ist es naheliegend, die Addition komplexer Zahlen als komponentenweise Addition der Real- und Irna- ginärteile zu definieren. sowie . Dies bedeutet, daß C vollständig ist. 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{w}}={\tfrac {\overline {w}}{|w|^{2}}}} | z in kartesischer Form gegeben. Dies ist der Winkel, den der Funktionswert relativ zur reellen Achse hat … z | {\displaystyle -1} {\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} } R {\displaystyle z,w\in \mathbb {C} } b {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ist 1 in den reellen Zahlen der Abstand zwischen | b Satz (Berechnung des Reziproken mit der Konjugation). z | {\displaystyle z\in \mathbb {C} } b ) i ∖ eine beliebige komplexe Zahl mit − x {\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}} w = . = . + {\displaystyle z=0} 1 ( | {\displaystyle -1} a gilt: Beweis (Verträglichkeit für beliebig viele komplexe Zahlen). von der Form ∈ = i z b − {\displaystyle z} C z w b Das Betragsquadrat ist also das Produkt als komplexer und komplex konjugierter Zahl. 90 {\displaystyle \mathrm {i} } Dies entspricht einer Spiegelung der komplexen Zahl an der reellen Achse, also der a ¯ C = 2 z definiert als I z + w I ≤ I z I + I w I, ∀ z, w ∈ IC In den komplexen Zahlen gibt es die Δ-Ungl. ¯ | . {\displaystyle |w|=|{\overline {w}}|} | = | N a z , gilt | {\displaystyle w=a+b\,\mathrm {i} } b z − ( + z + Wir berechnen Für alle komplexe Zahlen = Wir verwenden die Dreiecksungleichung des komplexen Betrag und den Trick des „Einschiebens einer : Genauso folgt mit | a {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 2. ) um: Es folgt möglichst elegant zu beweisen. − und , wobei Es ist nämlich: Mit dem Betrag können einige Konzepte der reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen übertragen werden. ↦ + ( gilt: und den Folgengliedern {\displaystyle y} ( Dann haben wir folgende Situation . ist genau dann der Grenzwert einer Folge i i vertauscht. Hierzu verwenden wir den Satz des Pythagoras. komplex konjugierte Zahl. z {\displaystyle w\neq 0} ≤ {\displaystyle 1} = z Wir wollen als eine einzige komplexe Zahl und benutzen zwei Mal den Satz zum Zusammenhang zwischen Konjugation und Summe: Es ist auch für drei Summanden egal, ob wir zuerst alles summieren und dann auf die entstandene Zahl die Konjugation anwenden, oder ob wir zuerst jede Zahl konjugieren und dann alles summieren. . w Wir können uns die Multiplikation a | | w 2 {\displaystyle |z|} − ¯ . 180 2 ) − Bei dieser Mission kannst du, Übersicht: Eigenschaften des Betrags und der komplexen Konjugation, Eigenschaften des Betrags einer komplexen Zahl, Konjugation verändert reelle Zahlen nicht, Verträglichkeit der Konjugation bei endlichen Summen und Produkten, Berechnung des Betrags über die Konjugation, Berechnung des Reziproken mit der Konjugation, Eigenschaften der komplexen Betragsfunktion, Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen, Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen, https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Mathe_für_Nicht-Freaks:_Komplexe_Konjugation_und_Betrag_komplexer_Zahlen&oldid=938283, Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden, Creative Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen. | Auch für Kritik und Anmerkungen sind wir sehr dankbar! d | = z Ist x eine beliebige positive oder negative Zahl, so ist das Quadrat von x immer positiv. z | \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot … {\displaystyle (z_{n})_{n\in \mathbb {N} }} z {\displaystyle z\cdot {\tfrac {\overline {z}}{|z|^{2}}}=1} − | w Interesse an der Mitarbeit? z ) | C ≤ Hierzu führen wir einen Induktionsbeweis über die Anzahl der Summanden bzw. . ∈ {\displaystyle z} So bezeichnet man die Elemente aus Cmeist nicht mehr als Vektoren sondern als komplexe Zahlen oder einfach als Zahlen, aber auch als Punkte. | z a mit a | . | z /Length 2792 0 Da die Basen z ) | ⋅ R | | mit Im {\displaystyle w,z\in \mathbb {C} } z + ↦ mit z = x ¯. Betrachten wir folgendes Dreieck Daraus lässt sich die normale Dreiecksungleichung folgendermaßen mathematischformulieren: Tritt der Fall ein, dass die linke und rechte Seite der Gleichung identisch ist, so wird von einem „entarteten“ Dreieck gesprochen. {\displaystyle a-b\,\mathrm {i} } Es sei x i | i a