m ( ) U ist gleichmäßig stetig, aber nicht lokal lipschitz-stetig. δ Jedoch ist diese bei x=0 nicht definiert. Wenn man den Definitionsbereich der Funktion bestimmt hat, kann man sich zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit merken: Entsteht bei gebrochenrationalen Funktionen im Nenner eine Null, so handelt es sich um einen Pol. Ihre Darstellungsmatrix, die Jacobi-Matrix, besteht aus den partiellen Ableitungen. Auch wenn die Abbildung linear ist, folgt nicht, dass sie stetig ist. Warum gibt es nur so wenig kompetente Menschen und Lehrer auf dieser Welt?…so macht Mathe doch erst recht Spaß )), Hi, ich denke, bei der Ableitung von (4x^2)^(1/3), ich meine dein Beispiel: 3. wurzel aus 4xQudrat) hast du dich vertan. , , k v ⊂ Für die Definition der Ableitung einer Abbildung k x a r U F {\displaystyle V} ( -mal differenzierbar. t in den Vektorraum {\displaystyle x_{0}} ( {\displaystyle a} Dort ist sie definiert und stetig, aber nicht differenzierbar. V Alle ->ganzrationalen Funktionen sind stetig differenzierbar. geschrieben werden. ist die Steigung dieser Tangente. ( ″ f In unserem Beispiel ist der Grenzwert für x0 = 1 existent (nämlich 2). {\displaystyle \psi (V)} Doch nicht bei allen Funktionen ist der Definitionsbereich so klar geregelt. Ganz analog definiert man Gâteaux-Differenzierbarkeit und Gâteaux-Ableitung für Operatoren U 1 n bezüglich dieser Karten versteht man dann die Abbildung. , die Die totale Differenzierbarkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Analysis eine grundlegende Eigenschaft von Funktionen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über .Mittels dieser Eigenschaft lassen sich viele weitere für die Analysis bedeutsame Aussagen über Funktionen zeigen. Für den Differenzenquotient an der Stelle 0 gilt . {\displaystyle W} 3 R Partiell differenzierbar. 0 Kapitel 4: Stetigkeit und Differenzierbarkeit Definition: Gegeben sei eine Funktion f : D → W, D ⊂ V, und ein x0 ∈ D′. Funktion 3 ist im Nullpunkt zwar stetig, aber nicht differenzierbar. U f auf abgeschlossene Intervalle verallgemeinern. bzw. Da man nicht durch Null teilen kann,  ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert, nicht stetig und auch nicht differenzierbar. ) {\displaystyle N} In der Funktion ist das dadurch erkennbar, dass der Nenner Null werden würde (-2 +2 = 0), der Zähler aber nicht. Ditmar. Differenzierbar bedeutet, dass an der Stelle x0 einer Funktion, die Steigung ermittelt werden kann. Der Limes für existiert nicht. x Die Fréchet-Ableitung kann z. 2 ) Nähert man sich dem Nullpunkt, so divergieren jedoch die partiellen Ableitungen, zum Beispiel geht der Betrag von. ) Die Menge aller {\displaystyle f'(x)=2\,|x|} Dafür kann es verschiedene Gründe geben. a {\displaystyle f} zurückführen. L gibt es eine Gerade, die den Funktionsgraph im Punkt und x {\displaystyle k} δ U {\displaystyle f_{1}} W f 0 ) 8 oder -8, ist egal, das Ergebnis ist immer der positive Wert, in dem Fall 8. a Da die Nullstelle aber sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommt, kann man sie durch Faktorisieren (Ausklammern) des Zählerpolynoms kürzen: Nach Kürzen des Terms (x – 1) ergibt sich eine neue Funktion, nämlich x + 1. im Punkt Übrigens Nicole: Um zu überprüfen, ob du deinen Beitrag richtig geschrieben hast, kannst du die Vorschau-Funktion benutzen. : h super, vielen Dank, das freut mich sehr :)! ) Die Betragsfunktion Definition erfüllt, so erhält man durch Umformen der ersten Eigenschaft die Gleichung, und der Grenzwert der Differenzenquotienten existiert dann wegen. f betrachtet, so ist diese nicht stetig (Sprung an der Stelle x=0), aber doch differenzierbar: An der Stelle x=0 kann sind links- und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten doch identisch, nämlich 1. p ) F 1 1 F Funktionen 4-6 sind Variationen einer Konstruktion von Weierstraß aus dem Jahre 1872. 5 Habe generell keine Schwierigkeiten mit Mathe, aber dennoch großes Lob an dich, da du alles wirklich ausführlich und vor allem anschaulich erklärt hast. Insbesondere ist die Funktion auch nicht partiell differenzierbar. X {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} f BWL-Studium: So gut sollte Dein Englisch sein! -mal differenzierbar definiert. im Punkt ( automatisch stetig. = , ′ Auf den Koordinatenachsen hat die Funktion konstant den Wert 0, das heißt für alle Die Differenzierbarkeit von Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird auf die Differenzierbarkeit ihrer Kartendarstellungen zurückgeführt. -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auch Funktion der Differentiationsklasse δ Im nächsten Artikel widmen wir uns zunächst dem Kernthema der Differentialrechnung, nämlich Ableitungen. ↦ Viele übersetzte Beispielsätze mit "stetig differenzierbar" – Englisch-Deutsch Wörterbuch und Suchmaschine für Millionen von Englisch-Übersetzungen. Zum Beispiel ist die Funktion, an jeder Stelle, inklusive R (das heißt ein (typischerweise unendlichdimensionaler) Vektorraum zusammen mit einer Norm Auf den Koordinatenachsen hat die Funktion konstant den Wert 0, das heißt für alle und gilt . Fast jeder Pfad eines Wiener-Prozesses ist als Funktion ∘ ) und betrachten Differenzierbarkeit im Punkt . v Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar. U Die häufigsten Ursachen für nicht definierte Bereiche sollen kurz zusammengefasst werden: Addition, Subtraktion, Multiplikation, sowie Trigonometrische Funktionen, wie (sin(x), cos(x), tan(x)  sind hingegen immer möglich. D Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit müssen selbst bei stetigen Funktionen nicht ‚selten‘ oder isoliert sein, wie man insbesondere an nirgends differenzierbaren stetigen Funktionen sieht. Aus der Definition folgt sofort, dass diese Abbildung positiv homogen ist, also Division durch null. f ( Dabei muss Stetigkeit schon vorausgesetzt werden. x . {\displaystyle M} → D.h., dass Funktionen, die in x0 stetig sind, nicht auch zwingend differenzierbar sein müssen. in Richtung Unter der Kartendarstellung von 0 {\displaystyle F\colon U\to W} {\displaystyle r(v)=r(v_{1},v_{2})} Die blaue Sinusfunktion sin(x) ist stetig, man könnte sie bequem ohne Absetzen mit dem Stift nachzeichnen. , ( Eine Funktion ) {\displaystyle x_{0}} δ ) Wie in Beispiel 3 bereits erläutert kann der Wert innerhalb der Betragsstriche sowohl positiv, als auch negativ sein. Dasselbe gilt für Polynome, wie z.B. Das heißt, dass die Steigung der Funktion an der Stelle x0 eindeutig bestimmbar sein, bzw. . λ Die in der ersten Definition genannten Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten durch den Punkt danke für den Hinweis! {\displaystyle Df(a)} ∈ 0 n Voraussetzung ist allerdings, dass die Funktion an dieser Stelle überhaupt differenzierbar ist. {\displaystyle r\colon U\to W} Die Punkte müssen sich innerhalb des Intervalls nahtlos aneinander anfügen, ohne das sich irgendwelche Lücken oder Sprungstellen ergeben. U heißt Fréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte (also stetige) lineare Abbildung 1 Alle einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber außer in die Koordinatenrichtungen nicht die beidseitigen. 1 die Steigung an der Nullstelle x=2 beträgt somit 0,25. k ( , … bis zur differenzierbar ist. Folgende Konzepte sind Verallgemeinerungen der Differenzierbarkeit: Im Prinzip sämtliche einführende Literatur zu Analysis und/oder Differentialrechnung. Das sagt auch aus, dass eine Funktion, die an einer Stelle x 0 nicht stetig ist, dann an dieser Stelle auch nicht differenzierbar ist. x² oder 4x³ ist die Bestimmung des Definitionsbereichs relativ einfach. U ist dagegen , V ( R ( − [1] In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als ⊂ -Diffeomorphismen sind. Beispielsweise seien genannt: Nachweis der Differenzierbarkeit der Funktion, Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen, Beispiele für differenzierbare Funktionen, Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen, Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen, Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen, Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen, Partiell differenzierbar, aber nicht stetig und nicht alle Richtungsableitungen, Einseitige, aber keine beidseitigen Richtungsableitungen, Alle Richtungsableitungen existieren, aber definieren keine lineare Abbildung, Alle Richtungsableitungen existieren und definieren eine lineare Abbildung, aber nicht total differenzierbar, Total differenzierbar, aber nicht stetig partiell differenzierbar, Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, Funktionen und Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen, Differenzierbare Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Differenzierbarkeit&oldid=207307392, „Creative Commons Attribution/Share Alike“. Die Differenzierbarkeit hängt nicht von der Wahl der Karten ab (solange , so erhält man. a Tipp 7 für mehr Selbstmotivation beim Fernstudium: Sei stolz auf dich! {\displaystyle f} Weiter sei eine Funktion U f Ist sie auch differenzierbar? L 1 x ) r Wir benutzen Cookies für die Analyse, Werbung und individuelle Anpassung der Inhalte. ) F , ) Mathematische Definition der Differenzierbarkeit Eine Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist. ⊂ {\displaystyle r} {\displaystyle C^{r}} Holomorphe Funktionen sind automatisch unendlich oft komplex differenzierbar und sogar analytisch. {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}} Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen von stetig differenzierbaren Funktionen sind stetig differenzierbar. Eine Polstelle (auch „Unendlichkeitstelle“ genannt), findet man dann, wenn der Nenner Null wird und gleichzeitig das Zählerpolynom u(x) einen Wert ungleich Null annimmt. L bezeichnet. R k ϕ {\displaystyle f} Auch können im dritten Fall sowohl Zähler, als auch Nenner Null werden. Interesant wird es bei den folgenden Funktionen (diese beruhen jeweils auf einer unendlichen Summe und werden hier nur approximativ gezeigt). k Anhand der Differenzialrechnung kann man die Steigung einer Funktion an bestimmten Punkten bestimmen. Aus totaler Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der partiellen Ableitungen. eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und Eine Funktion ist stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre ->Ableitungsfunktion stetig ist. M {\displaystyle (0,0)} x ( ⊂ f und R diese Eigenschaft haben. , 0 . gegen 0. {\displaystyle \delta F(a)\colon V\to W} . ) {\displaystyle \delta F(a)} Die Funktion λ ( {\displaystyle D_{v}f_{5}(0,0)=0} 1 ⋅ B. die Funktion : [,] →, ↦ zwar hölderstetig mit Exponenten / und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht lipschitzstetig (siehe Beispiel). → {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} } x x Besitzt der Graph an einer Stelle eine "Spitze", so kann man dort zwei unterschiedliche "Tangenten" konstruieren, eine "linksseitige Tangente" und eine "rechtsseitige Tangente". Mathematisch lässt sich Stetigkeit wie folgt definieren: Die Funktion f(x) heißt an der Stelle x = x0 stetig, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: Wenn nur eine der Bedingungen nicht erfüllt ist, gilt f(x) an der Stelle x = x0 als unstetig. {\displaystyle a\in U} → {\displaystyle J_{f}(a)} Daher ist die Funktion dort auch nicht differenzierbar. lässt sich dann auf Differenzierbarkeit der ( Die Stetigkeit der Ableitungsfunktion ist eine echte zusätzliche Forderung. , . Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechend Funktion der (Differentiations-)Klasse -0,333333….. stetig steigende und stetig … {\displaystyle F} Aber sie kann stetig sein und trotzdem nicht differenzierbar. Diese Bedingung ist nicht notwendig. Ist eine Funktion an irgendeiner Stelle unstetig, kann sie dort auch nicht differenziert werden. Dieser ist, wie man gut an der Lücke im roten Funktionsgraphen erkennen kann, eingeschränkt. {\displaystyle x<0} → ) 1 U Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktion unendlich oft differenzierbar oder glatt. Denn setzt man für x eine 1 ein, so ergibt sich sowohl im Zähler(1²-1=0), als auch im Nenner (1²-1) eine Null. {\displaystyle k\leq r} → → Definition genannten linearen Funktion  , falls eine Umgebung von Auch der Begriff der Stetigkeit spielt bei der Differenzialrechnung eine wichtige Rolle, denn sowohl Differenzierbarkeit, als auch Stetigkeit hängen miteinander zusammen. In der neueren mathematischen Literatur spricht man statt von totaler Differenzierbarkeit meist einfach von Differenzierbarkeit. ) Die Abbildung Die Umkehrung von Satz 15J3 muss nicht gelten, wie die folgenden Beispiele verdeutlichen. = V = Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion $${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$$, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich $${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$$ ein offenes Intervall reeller Zahlen ist. R a R v {\displaystyle f_{5}} x a f n Doch wie erkennt man eingeschränkte Definitionsbereiche und Definitionslücken, ohne eine Funktion zeichnen zu müssen? Da die Funktion bei x=2 nicht definiert ist, kann sie dort auch nicht stetig und differenzierbar sein. h Sie ist jedoch an der Stelle (0,0) nicht total differenzierbar. 0 Wir w ahlen dazu zwei Nullfolgen ( x n) nund (y n) nmit x n= 1 2nˇ und y n= 1 (2n+ 1)ˇ Dies wird auch an der folgenden Grafik nochmal deutlich, in der beide Funktionen eingezeichnet sind: Der grüne Funktionsgraph von f(x) = (x+3)/x hat an der Stelle x= -3 eine negative Steigung von -1/3, bzw. Also wenn im Definitionsbereich der Ableitung Stellen nicht definiert sind, dann ist die ursprüngliche Funktion an diesen Stellen nicht differenzierbar? Gruss, Alex [ Nachricht wurde editiert von … f v 0 Die neue Funktion f*(x) nennt man stetige Fortsetzung. Denn im Vergleich zu einer Geraden, wie z.B. 0 M Man schafft praktisch eine Zusatzdefinition an der Stelle x0, an der die Funktion ja ansonsten nicht definiert wäre. {\displaystyle a} {\displaystyle F} {\displaystyle v=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)} Besitzt der Graph an einer Stelle eine "Spitze", so kann man dort zwei unterschiedliche "Tangenten" konstruieren, eine "linksseitige Tangente" und eine "rechtsseitige Tangente". a im Punkt Das folgende Beispiel zeigt eine stetige und eine unstetige Funktion. v {\displaystyle x_{i}} ‖ W , falls die partielle Ableitung. Der Richtungsableitung entspricht die Gâteaux-Ableitung. , das heißt eine offene Umgebung Der Grenzwert existiert nur einseitig, also existieren die beidseitigen Richtungsableitungen nicht. ( V f x {\displaystyle {\tfrac {r(v)}{\|v\|}}\to 0} , t ‖ a Die Abbildung Der Differenzenquotient. Umgekehrt braucht Und wo eine Funktion nicht definiert ist, kann auch keine Tangente angelegt, bzw. Der Funktionsgraph von f*(x) sieht genauso aus, wie der von f(x), wie man an der folgenden Grafik sehen kann. in U Die Funktion ist jedoch bei (0,0) nicht stetig. 1 Die Funktion ist in x= -2 noch definiert und daher dort weder stetig, noch differenzierbar. 8 <: x2 sin(1=x) falls x 6= 0 0 falls x = 0 –0.008 –0.006 –0.004 –0.002 0 0.002 0.004 0.02 0.04 x 0.06 0.08 0.1 {\displaystyle F} {\displaystyle C^{\infty }} auf eine offene Teilmenge des m differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen , In unserem Beispiel könnten die 1,5x im Betrag sowohl positiv, als auch negativ sein. für r h , Haben Zähler und Nenner dieselben Nullstellen, so spricht man von einer hebbaren Definitionslücke. v r {\displaystyle M} Man schreibt dann für den Definitionsbereich: Df =x ∈ I‍R. gälte also, Setzt man Daher wird hierfür eine andere mögliche Definition der Differenzierbarkeit für reellwertige Funktionen einer Variablen betrachtet. partiell differenzierbar mit. Die Aufgabe ist also keineswegs erledigt. δ von einem normierten Vektorraum . {\displaystyle z_{0}} n Stetig partiell differenzierbar (für reellwertige Funktionen) Total differenzierbar stetig. Der rote Funktionsgraph ist an der Stelle x=1 nicht stetig, dort existiert auch kein Funktionswert für f(1). ( Setzt man in der Gleichung x=0 ein, so ergibt das den Funktionswert Null (3. {\displaystyle g} f f Es existieren auch keine einseitigen Grenzwerte. Funktionen 4-6 sind Variationen einer Konstruktion von Weierstraß aus dem Jahre 1872. ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar (aber überall sonst). D Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung: 0,33333…. f V sind. gegen unendlich, konvergiert also nicht. Auch Begriffe, wie Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und Definitionslücken gehen zur Funktionsuntersuchung und werden noch in Teil 4 und 5 der Artikelreihe „Differentialrechnung in 5 Schritten“ genauer beleuchtet, wo es um Funktionsuntersuchungen und eine vollständige Kurvendiskussion geht. Sie wird mit . → Dann ist. Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt weder die totale Differenzierbarkeit noch die beidseitige oder einseitige Differenzierbarkeit in Richtungen, die keine Koordinatenrichtungen sind. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. − λ ein offenes Intervall reeller Zahlen ist. {\displaystyle F} Damit werden die Formel grafisch angezeigt. Wenn man die Funktion betrachtet, stellt man fest, dass sie bei x=0 zwar einen Knick besitzt, aber überall definiert und stetig ist, da an jeder Stelle ein Funktionwert existiert. u 2 {\displaystyle (k-1)} a W : Je nachdem, an welcher Stelle man sich auf dem Funktionsgraphen befindet ändert sich die Steigung. {\displaystyle 0} W Überall sonst sind die Funktionen stetig differenzierbar. {\displaystyle (k-1)} {\displaystyle a} Bei xn sind natürliche Exponenten (0, 1, 2, 3, 4 …) kein Problem. existieren, sodass für alle gegeben. {\displaystyle p} , kurz: Funktion der Klasse U Vielmehr pendelt der Differenzenquotient, wenn U | ) An der Stelle x 0 = 1 ist die Funktion zwar stetig aber nicht differenzierbar (Knick). {\displaystyle W} → Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar. {\displaystyle r} , F {\displaystyle z_{0}} , v existiert dann eine Karte bezeichnet. {\displaystyle f'(z_{0})} Wir haben es dort mit zwei Steigungen zu tun. L {\displaystyle f^{(k)}} In diesem Video zeige ich euch ein Beispiel für eine Funktion, die stetig, aber nicht überall differenzierbar ist. Das Beispiel zeigt deutlich, dass auch eine stetige Funktion nicht an jeder Stelle differenzierbar sein muss. {\displaystyle v} {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}} ist differenzierbar, aber nicht lipschitz-stetig. ( Die Ableitung von bis auf den Fehler f 2 f ( ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar und stetig. → F {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} Die Begriffe „stetig differenzierbar“ und „differenzierbar“ sind nicht äquivalent. Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig. in Linguee nachschlagen ... wo Fantasie und Wirklichkeit zusammenkommen und nicht mehr differenzierbar sind, und indirekt Objekte des Begehrens verorten, sie aber nie direkt angehen. Ist x0 gleichzeitig die Nullstelle des Zählers und des Nenners, entsteht der typische undefinierte Grenzwert 0/0. , falls der Grenzwert. ) n Zu jeder Steigung zwischen r Unter zusätzlichen Voraussetzungen, wie etwa im Ableitungssatz von Lebesgue, läßt sich über die Menge der Stellen, an denen eine Funktion nicht differenzierbar ist, genaueres aussagen. a U x). Im Punkt P0 (x0 | f(x0).muss also eine eindeutige Tangente existieren. {\displaystyle v} : ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar. Da bezeichnet man als ⊂ v v 2,0001 wählt, so entsteht für y ein sehr hoher Wert. Eine reellwertige Funktion einer Variablen ist an der Stelle bekanntlich genau dann differenzierbar, falls der Grenzwert existiert. + {\displaystyle f_{i}} Bei der roten Bruchfunktion x3-1/x-1 hingegen tut sich bei x=1 eine Lücke auf. Dort kann keine Tangente angelegt oder Steigung ermittelt werden, da an dieser Stelle nur „Luft“ ist. ) definiert als, Betrachtet man nur positive f ist an der Stelle {\displaystyle m} , die stetig, aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist. v statt gegen 0. k Möchte man nun herausfinden, welche Steigung die Funktion an der Nullstelle x=2 hat, rechnet gemäß der Quotientenregel man: Der Grenzwert, bzw. , Damit werden die Formel grafisch angezeigt. v F und es sei Die Funktion Die Aufgabe ist also keineswegs erledigt. , ) gilt. 2 Die totale Ableitung wird auch Differential genannt. = v . {\displaystyle m} Da bei x=2 der Nenner gleich Null ist, der Zähler aber ungleich Null ist (u(x) ≠ 0; v(x) = 0), befindet sich an dieser Stelle eine Polstelle oder Unendlichkeitsstelle. x Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x=3 ermitteln, so kann man sich entweder von links (… -1, 0, 1, 2) oder von rechts (4, 5, 6, 7 …) der 3 nähern. ) F Entsprechend sind bei einer {\displaystyle x_{0}} gegen 0 geht dieser Term gegen Wir betrachten einen festen Punkt 1 = n Die Funktion ist also auch bei x=0 stetig und dort auch definiert, da ja ein Funktionswert vorhanden ist. f Daraus folgt aber nicht unbedingt, dass f dort nicht differenzierbar wäre, was aber gemäß der Aufgabenstellung hätte gezeigt werden sollen. Dies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff. {\displaystyle p\in M} {\displaystyle (U,\phi )} v {\displaystyle C^{k}(D)} ) existiert, dann ist an der Stelle δ Er wird meist mit |x| gekennzeichnet, seltener auch mit abs(x). und damit, Für R {\displaystyle v_{2}=h} {\displaystyle F} f ( {\displaystyle x\to 0} der euklidische Raum, so kann man dort auf die Karte verzichten. f ist (im Punkt f D D Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Eine Funktion heißt genau dann differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. : Entsprechend wird dreimal, viermal, …, d Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind. Die Umkehrung von Satz 15J3 muss nicht gelten, wie die folgenden Beispiele verdeutlichen. die Steigung der Tangente im Punkt Punkt P0 (x0 | f(x0). M ∈ x R Damit ist sie " nicht stetig ". Eine solche Funktion $${\displaystyle f}$$ ist differenzierbar an einer Stelle $${\displaystyle x_{0}}$$ aus ihrem Definitionsbereich, wenn die Ableitung von $${\displaystyle f}$$ an dieser Stelle existiert. Sie heißt {\displaystyle N} gegen die Steigung der Tangente konvergieren. R -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit der Definitionsmenge F J ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar. „füllbar“, man nennt sie dann hebbare Definitionslücke. Warum nicht? 1,9999 ein, so ergibt sich ein y-Wert von: 1/(1,9999-2)= -10.000. a Bei x=0 ist die Funktion nicht definiert und somit auch nicht stetig und nicht differenzierbar. a a heißt in diesem Fall Fréchet-Ableitung von ↦ ( und ein Punkt , so erhält man die einseitige Richtungsableitung, Die Funktion -te Ableitung {\displaystyle k} -mal stetig differenzierbar, wenn das für ihre Kartendarstellungen 0 r {\displaystyle p} h m Eine di erenzierbare, aber nicht stetig di erenzierbare Funktion f : x 7! h -Tupel Ob in den Betragsstrichen nun z.B. Grafisch lässt sich die Eigenschaft Differenzierbarkeit so deuten, dass eine Funktion genau dann an der Stelle = Im Folgenden sei Die lineare Abbildung Entsprechend ist die Funktion. Kommentiert 31 Dez 2016 von Gast hj2166 Mein Fehler, da hatte ich zu schnell abgenickt. U , falls ihre Kartendarstellungen Der Funktionsgraph war nicht korrekt gezeichnet. =
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